基础数学示例

$1 + a^{7}$

解题步骤 1

重新排序项。

$a^{7} + 1$

解题步骤 2

使用有理根检验法因式分解 $a^{7} + 1$ 。

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解题步骤 2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1$

解题步骤 2.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{7} + 1$

解题步骤 2.3.2

对 $- 1$ 进行 $7$ 次方运算。

$- 1 + 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $a + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{a^{7} + 1}{a + 1}$

解题步骤 2.5

用 $a^{7} + 1$ 除以 $a + 1$ 。

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解题步骤 2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

解题步骤 2.5.2

将被除数中的最高阶项 $a^{7}$ 除以除数中的最高阶项 $a$ 。

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

解题步骤 2.5.3

将新的商式项乘以除数。

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

解题步骤 2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $a^{7} + a^{6}$ 中的所有符号

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

解题步骤 2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

解题步骤 2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$a^{6}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

解题步骤 2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- a^{6}$ 除以除数中的最高阶项 $a$ 。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

解题步骤 2.5.8

将新的商式项乘以除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

解题步骤 2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- a^{6} - a^{5}$ 中的所有符号

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

解题步骤 2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

解题步骤 2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

解题步骤 2.5.12

将被除数中的最高阶项 $a^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $a$ 。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

解题步骤 2.5.13

将新的商式项乘以除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

解题步骤 2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $a^{5} + a^{4}$ 中的所有符号

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

解题步骤 2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

解题步骤 2.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

解题步骤 2.5.17

将被除数中的最高阶项 $- a^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $a$ 。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

解题步骤 2.5.18

将新的商式项乘以除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

解题步骤 2.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- a^{4} - a^{3}$ 中的所有符号

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

解题步骤 2.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

解题步骤 2.5.21

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

解题步骤 2.5.22

将被除数中的最高阶项 $a^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $a$ 。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

解题步骤 2.5.23

将新的商式项乘以除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

解题步骤 2.5.24

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $a^{3} + a^{2}$ 中的所有符号

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

解题步骤 2.5.25

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

解题步骤 2.5.26

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

解题步骤 2.5.27

将被除数中的最高阶项 $- a^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $a$ 。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

解题步骤 2.5.28

将新的商式项乘以除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

解题步骤 2.5.29

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- a^{2} - a$ 中的所有符号

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

解题步骤 2.5.30

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

解题步骤 2.5.31

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

解题步骤 2.5.32

将被除数中的最高阶项 $a$ 除以除数中的最高阶项 $a$ 。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

解题步骤 2.5.33

将新的商式项乘以除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

解题步骤 2.5.34

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $a + 1$ 中的所有符号

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

解题步骤 2.5.35

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$a^{6}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{7}$

$0 a^{6}$

$0 a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{7}$

$a^{6}$

$0 a^{5}$

$a^{6}$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$0$

解题步骤 2.5.36

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$a^{6} - a^{5} + a^{4} - a^{3} + a^{2} - a + 1$

解题步骤 2.6

将 $a^{7} + 1$ 书写为因数的集合。

$(a + 1) (a^{6} - a^{5} + a^{4} - a^{3} + a^{2} - a + 1)$

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